Breve historia y desarrollo de la Geometría

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.

Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo

III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada

"Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".

Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.

Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.

La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

Grandes matemáticos de la historia

Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:

• Tales de Mileto: (hacia el 600 a. C.). Matemático y geómetra griego. Considerado uno de los Siete Sabios de Grecia. Inventor del Teorema de Tales.

• Pitágoras: (582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música. Inventor del Teorema de Pitágoras.

• Euclides: (aproximadamente 365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría" está considerada como el texto matemático más importante de la historia. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

• Arquímedes: (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

• Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.
• René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.
• Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.
• Gottfried Leibniz: (1646-1716). Matemático alemán, desarrolló, el cálculo infinitesimal. Realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de los números y la geometría analítica.
• Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos.
• Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
• Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos.
• Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini.
• Joseph-Louis de Lagrange: (1736-1813). Matemático franco-italiano, considerado como uno de los más importantes de la historia, realizó importantes contribuciones en el campo del cálculo y de la teoría de los números.
• Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el príncipe de las matemáticas". Inventó lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
• Pierre-Simon Laplace: (1749-1827). Matemático francés que realizó importantes aportaciones a la teoría de Probabilidades, desarrolló la Ecuación de Laplace,e inventó la Transformada de Laplace, que tiene importantes aplicaciones en la electrónica. Fue un ferviente creedor del Determinismo científico.
• Augustin Louis Cauchy: (1789-1857). Matemático francés, pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos. Ofreció la primera definición formal de función, límite y continuidad. También trabajó la teoría de los determinantes, probabilidad, el cálculo complejo, y las series.
• Jean-Baptiste Joseph Fourier: (1768-1830). Matemático francés. Estudió la transmisión de calor, desarrollando para ello la Transformada de Fourier.

Fuente: Wikipedia.

 

La importancia de los materiales en matemáticas

La función del material es importante, ya que, el material es un medio, no un objetivo. particularmente durante los talleres servirá de soporte para la actividad y, según los casos, servirá de liberación o de convergencia: un juego de construcción, unas marionetas o unos muñecos permitirán que el niño dé libre curso a su imaginación; un puzzle o un juego de sociedad orientara su reflexión. El primer contacto con un material nuevo, cualquiera que esté sea, no puede ser más que una manipulación libre. Así es como el niño puede descubrirlo, adivinar y ver sus limitaciones y sus posibilidades. El educador podrá, progresivamente, orientar, poco a poco, como una sugerencia, una pregunta o un gesto. El niño y la niña se construyen manipulando. El niño y la niña necesitan “hacer” y “rehacer” el gesto o los gestos una y otra vez. El proceso de aprendizaje se estructura a través de la repetición y, por tanto, en el tiempo.

Se puede clasificar el material con respecto a la convergencia/divergencia de la actividad que permite; pero también con respecto a la manera en la que introduce la actividad corporal. El cuerpo es al mismo tiempo causa, condición y medio del desarrollo. Es el que debe inspirar directamente la construcción del espacio.

Pero en Educación Infantil, no se busca sólo la construcción del espacio real. Se trata también, y cada vez más, a medida que el niño crece en edad, de lograr que disponga de representaciones.

 Materiales y juegos presentan, como ventajas comunes, las siguientes:

• Responden a la necesidad de sensorialidad de niños y niñas, permitiendo un enfoque plurisensorial.

• Proporcionan un enfoque no verbal de los conceptos, especialmente útil con niños y niñas que no se encuentran cómodos con el lenguaje (cuando la lengua materna y la de la escuela no coinciden, por ejemplo).

• Producen una mejor comprensión, más completa, proporcionando la oportunidad de establecer relaciones entre diferentes hechos que siguen estando muy compartimentados en una presentación tradicional.

• Contribuyen al desarrollo de la atención.

• Desarrollan la concentración.

• Preparan a la evocación y a la anticipación, según modalidades diversas.

Principal inconveniente: la necesidad de disponer de un gran stock y, por lo tanto de un espacio de ordenación importante y hábilmente acondicionado. Esto supone también un presupuesto bastante sustancioso, que puede fraccionarse y suplirse con realizaciones artesanales que muchas veces son posibles a partir de materiales reciclados.

Para ayudar a escoger entre material y juego, puede ser útil tener en cuenta las ventajas e inconvenientes específicos de los unos y los otros.

Los aspectos positivos de los materiales son, principalmente, los siguientes:

• Permiten una apropiación personal, casi íntima, en que un fracaso se queda en el ámbito de lo privado y acaba por superarse.

• Respetan el ritmo del niño, su timidez, su reserva.

• Desarrollan la motricidad fina y la pulcritud.

• Dan al niño diferentes oportunidades de “hacer escalas conceptuales”.

• Fomentan la autonomía (aunque su uso exclusivo puede potencial el individualismo).

• Alientan la superación personal.

Etapas del desarrollo

Para poder trabajar cualquier concepto debemos conocer previamente cuáles son las etapas del desarrollo de los niños y niñas para poder adaptarnos a sus necesidades. Según Piaget se pueden descubrir unos niveles de equilibrio temporal que representan unas estructuras estables de los mecanismos de adaptación.

Cada etapa se caracteriza por la aparición de algunas invariables o de una nueva capacidad (función simbólica y lenguaje en el estadio pre- operatorio). Conviene insistir sobre el hecho de que la sucesión de estos estadios es siempre idéntica, pero que un efecto individual y temporal de “acordeón” impide fijarlos en una cronología universal.

1. Estadio senso-motor: hasta los 2 años el niño no piensa fuera de lo que él siente (sensor) y de lo que actúa (motor). Si desemboca en una lógica de la acción, está lógica es fruto de las múltiples manipulaciones que son el producto de su misma actividad espontánea.
2. Estadio pre-operatorio: aparición de la función simbólica e interiorización de los esquemas de acción en representaciones, que van de las organizaciones representativas (tres años a cinco/ seis años) a las regulaciones representativas articuladas (cinco/seis a siete/ ocho años). 
3. Estadio de las operaciones concretas: evolución a partir de operaciones sencillas (siete/ocho a nueve/diez años) hasta las operaciones complejas.
4. Estadio de las operaciones formales: (once/doce años).

Todavía es preciso hacer dos observaciones:

1. Aunque la evolución es continua pero no lineal, tampoco se puede representar como una escalera. En efecto, el paso de un estadio al siguiente, que supone una reorganización del primero, puede ir acompañado de distintas perturbaciones. Se sabe, por ejemplo que en el momento en que el niño empieza a desarrollar palabra, puede mostrar regresiones temporales en otros campos.

2. Por otro lado, hay que mencionar lo que Piaget llama los “escalamientos horizontales”. Se llama así al escalonamiento que se puede observar entre las adquisiciones de estructuras operatorias idénticas ligadas a situaciones distintas. Botson y Delliège, lo han demostrado claramente en lo que concierne a las conservaciones operatorias según se trate de superficie (siete/ocho años), de peso (nueve/diez años), o de volúmenes, así como para la transitividad.